第一课时 平面

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？

师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.

培养学生感性认识

探索新知

1．平面的概念

随堂练习 判定下列命题是否正确：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50m，宽是20m；

④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.

师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？

生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.

加深学生对平面概念的理解.

探索新知

2．平面的画法及表示

（1）平面的画法

通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.

（2）平面的表示

法1：平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，平面{C}{C}{C}{C}.

法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.

（3）点与平面的关系

平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内，记作：A{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}. 点B在平面外，记作：B{C}{C}{C}{C}.

师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)

师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？

生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.

师：大家画一下.

学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)

加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.

探索新知

3．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

（1）公理1的图形如图

（2）符号表示为：{C}{C}{C}{C}

（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.

{C}{C}{C}{C}{C}{C}（1）公理2的图形如图

（2）符号表示为：C {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}直线AB {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}存在惟一的平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，

使得{C}{C}{C}{C}

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.

“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”

（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

（1）公理3的图形如图

（2）符号表示为：

{C}{C}{C}{C}

（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.

师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.

生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.

师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）

师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.

直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P {C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}l；如果直线l上所有的点都在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内，就说直线l在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内，或者说平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}经过直线l，记作l{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，否则就说直线l在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外，记作{C}{C}{C}{C}.

下面请同学们用符号表示公理1.

学生板书，教师点评并完善.

大家回忆一下几点可以确定一条直线

生：两点可确定一条直线.

师：那么几点可以确定上个平面呢？

学生思考，讨论然后回答.

生₁：三点可确定一个平面

师：不需要附加条件吗？

生₂：还需要三点不共线

师：这个结论就是我们要讨论的公理2

师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.

师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.

生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.

师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.

通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.

加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.

学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.

典例分析

例1  如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.

分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.

解：在（1）中，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}.

在（2）中，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，{C}{C}{C}{C}.

学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评

巩固所学知识

随堂练习

1．下列命题正确的是（  ）

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？

（2）共点的三条直线可以确定几个平面？

3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}与平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}相交，它们只有有限个公共点. （   ）

（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

（   ）

（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面.       （   ）

（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.                 （   ）

4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

（1）点A在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内，但点B在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外；

（2）直线a经过平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}外的一点M；

（3）直线a既在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内，又在平面{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}内.

学生独立完成

答案：

1．D

2．（1）不共面的四点可确定4个平面.

（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.

3．（1）×（2）√（3）√（4）√

4．（1）A{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，B{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

（2）M{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，M{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

（3）a{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}，a{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}{C}.

巩固所学知识

归纳总结

1．平面的概念，画法及表示方法.

2．平面的性质及其作用

3．符号表示

4．注意事项

学生归纳、总结教学、补充完善.

回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.

课后作业

2.1第一课时 习案

学生独立完成